关于可分离变量微分方程的疑问

Question

可分离变量的微分方程将g(y)除过去的时候，需要考虑它等不等零吗？最后通解中的常数是不是就包含使g(y)等于0的那些特解了呢？
也就是分离变量的话可能改变g(y)的定义域，这样求出的通解必然不包含该点可能是方程特解的情况，那最后求出的通解常数是不是可以包含这种情况。

Answer 1

你说的很对，分离变量法解微分方程的时候一定要考虑g(y)=0的情况。最终的通解虽然含有任意常数C（非初值问题），但不一定就包含了g(y)=0的情况，通常这跟所给通解的形式有关，也有可能这个解带入通解表达式发现是无意义的。给你举几个例子，例如方程y'=P(x)y，P(x)是x的连续函数。这个方程最终的解是包含y=0情况的。再如方程y'=siny，它的通解是（一般的写法）x=ln|tany/2|+C，显然y=0是原方程的解，但是它并不包含在通解中。但换个写法，tan(y/2)=C*exp(x)时候，y=0就包含在里面了。但事实上，y=pi也是方程的解，但它并不包含在以上两种的任一种通解形式中。
希望能帮到你~

参考资料：朱思铭《常微分方程》第三版，2006

Answer 2

F(x,y,y