请教下一个待定系数法分解因式的例题解法

Question

请教下待定系数法分解因式：
分解因式：X³-4x²+2x+1
解：令原式=(x+a)(x²+bx+c)=x³+(a+b)x²+(ab+c)x+ac
因为x³-4x^2+2x+1=x³+(a+b)x²+(ab+c)x+ac,
所以a+b=-4 a=-1
ab+c=2 解得b=-3
ac=1 c=-1
∴x³-4x²+2x+1=(x-1)(x²-3x-1)

这是百度百科上“待定系数法”词条里举的一个例子描述。
问题是不明白怎么中间得出的a=-1？
这是基于什么原理计算出来的？谢谢

Answer 1

应该是ac=1,a,c为整数
当a=-1时,c=-1,求得b=-3,并且ab+c=2
当a=1时,c=1,求得b=-5,此时ab+c=-4≠2,舍去.
其实，可以这样解的：
分解因式:
X³-4x²+2x+1
解:令原式=(x-1)(x²+ax+b)=x³+(a-1)x²+(b-a)x-b
因为 X³-4x²+2x+1=x³+(a-1)x²+(b-a)x-b
所以 a-1=-4 b-a=2 -b=1
a=-3 b=-1
∴x³-4x²+2x+1=(x-1)(x²-3x-1)

追问

多谢。不过请问下为啥a和c是整数呢？这是基于什么概念的前提啊？

Answer 2

这个是猜根猜出来的，x=1是原因式=0的一个解，其实直接可以设成原式=(x-1)(x²+bx+c)。一般因式分解时候先观察一下什么0，±1、2、3之类的可以简单很多，还有他这个分解不完全，后面的还需要再分解