求幂级数∑(n=1,∞) n+1分之x的n-1次方的和函数

Question

如图7

Answer 1

幂级数∑(n=1,∞) n+1分之x的n-1次方的和函数：-[ln(1-x)]/x²-1/x。

设S(x)=∑[x^(n+1)]/(n+1)，n=1,2，…，∞。显然，x=0时，S(x)=1/2、x≠0时，原式=S(x)/x²。

而，x∈[-1,1)时，S'(x)=∑[x^n=x/(1-x)=1/(1-x)-1。

∴S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=-ln(1-x)-x。

∴x≠0时，原式=-[ln(1-x)]/x²-1/x。

扩展资料

如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界。

例如∑1/n！收敛，因为：Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/2²+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

有无穷多项为正，无穷多项为负的级数称为变号级数，其中最简单的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的级数，称之为交错级数。

判别这类级数收敛的基本方法是莱布尼兹判别法 ：若un ≥un+1 ，对每一n∈N成立，并且当n→∞时lim un=0，则交错级数收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收敛。

Answer 2

请参考下图的做法，先改变次数便于求导化为等比级数，最后再还原。x=0处的级数和可直接由定义得出是1/2。

Answer 3

设S(x)=∑[x^(n+1)]/(n+1)，n=1,2，…，∞。显然，x=0时，S(x)=1/2、x≠0时，原式=S(x)/x²。
而，x∈[-1,1)时，S'(x)=∑[x^n=x/(1-x)=1/(1-x)-1。∴S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=-ln(1-x)-x。
∴x≠0时，原式=-[ln(1-x)]/x²-1/x。
供参考。

Answer 4

（x的n+1次方-x的n-1次方）除以x的n+1次方，+1除以x的平方 =1-1/x^2+1/x^2 =1

Answer 5