求微分方程的通解yy''-y'^2-1=0

Question

要详细过程包括任意常数的推导过程

Answer 1

令p=y'

则y"=pdp/dy

代入方程得：

ypdp/dy-p²-1=0

ypdp/dy=p²+1

pdp/(p²+1)=dy/y

d(p²)/(p²+1)=2dy/y

积分： ln(p²+1)=2ln|y|+2lnC

得：p²+1=(Cy)²,

即y'=√[(Cy)²-1]

d(Cy)/√[(Cy)²-1]=Cdx

积分： ln[Cy+√((Cy)²-1)]=Cx+C1

扩展资料

微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

Answer 2

具体如下：

微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。

物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。

在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

扩展资料：

含有未知函数的导数，如  的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。

第一，能求得通解的方程显然是很少的。在常微分方程方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，为数是很小的。

如果把求通解看作求微商及消去法的某一类逆运算，那么，也和熟知的逆运算一样，它是带试探性而没有一定的规则的，甚至有时是不可能的（J.刘维尔首先证明黎卡提方程不可能求出通解），何况这种通解也是随着其自由度的增多而增加其求解的难度的。

第二，当人们要明确通解的意义的时候（在19世纪初叶分析奠基时期显然会考虑到此问题）就会碰到严重的含糊不清之处，达布在他的教学中经常提醒大家注意这些困难。这主要发生在偏微分方程的研究中。

第三，微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解。A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。这些补充条件即定解条件。求方程满足定解条件的解，称之为求解定解问题。

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

参考资料：百度百科-微分方程

Answer 3

令p=y'
则y"=pdp/dy
代入方程得：
ypdp/dy-p²-1=0
ypdp/dy=p²+1
pdp/(p²+1)=dy/y
d(p²)/(p²+1)=2dy/y
积分： ln(p²+1)=2ln|y|+2lnC
得：p²+1=(Cy)²,
即y'=√[(Cy)²-1]
d(Cy)/√[(Cy)²-1]=Cdx
积分： ln[Cy+√((Cy)²-1)]=Cx+C1

追问

得：p²+1=(Cy)²,
即y'=√[(Cy)²-1]
根号开得如此潇洒，正负号去哪了？
答案是 y=1/2C1(e^(C1+C2+e^(-C1x-C2)),关键在于常数项的来龙去脉，在细化下吧。

追答

得：p²+1=(Cy)²,
即y'=±√[(Cy)²-1]
d(Cy)/√[(Cy)²-1]=±Cdx
积分： ln[Cy+√((Cy)²-1)]=±Cx+lnC1
Cy+√((Cy)²-1)=C1e^(±Cx)

追问

d(Cy)/√[(Cy)²-1]=±Cdx
积分： ln[Cy+√((Cy)²-1)]=±Cx+lnC1
等号左边的积分也有问题啊：
d(x)/√[(x)²-1]=ln|Cy+√((Cy)²-1)|,应该有绝对值啊，你的绝对值也没了。
我差不多也算出来了，常数项是很有特点的。
你思路是对的但过程中纰漏太多，导致你的结果其实是错的。

Answer 4

yy''+(y')^2=(yy')'=y'
所以yy'=y+c1 ,c1为常数
ydy/dx=y+c1
y/(y+c1)dy=dx
[1-c1/(y+c1)]dy=dx
y-c1ln(y+c1)=x+c
所以解为x=y-c1*ln(y+c1)+c,c,c1为常数

Answer 5

这是我写的参考答案，供大家参考。