什么是必要条件

Question

我们老师说如果条件能推出结论，那么条件被称为结论的充分条件，如果结论能推出条件，那么结论被称为条件的必要条件。（即“如果A，那么B。”A推出B，A被称为B的充分条件；B推出A，那么B称为A的必要条件）
但书上写的却是“如果A，那么B”是正确的，A能推出B，A是B的充分条件，B是A的必要条件。
书上还有例子是“a是有理数，那么a实数。”“a是有理数”是“a是实数”的充分条件，“a是实数”是“a是有理数”的必要条件。
老师不是说过结论能推出条件，结论才是条件的必然条件吗？可是这里结论“a是实数”不能推出条件“a是有理数”，那为什么“a是实数”是“a是有理数”的必要条件。
为什么书上的和老师的不一样，究竟哪个对啊？

Answer 1

在“如果A，那么B”这句话中，已经确定了A可以推出B的关系，即A→B，否则“如果A，那么B”是伪命题。这个时候，我们就可以同时得出结论：A是B的充分条件，B是A的必要条件。不需要此时的B可以推出A，如果此时的B可以推出A，那么B是A的充要条件。
充分条件就是可充分达成某一结论的前提，必要条件就是达成某一结论必需的前提。
“如果a是有理数，那么a是实数”是真命题，那么这句话是真命题的这个事实本身就已经说明a是有理数可以推出a是实数，依此我们可以同时得知，a是有理数是a是实数的充分条件，a是实数是a是有理数的必要条件。
想想看，a如果不是实数，那么它怎么可能是有理数，所以a是实数对于a是有理数来讲就是必需的必要的，所以据真命题“如果a是有理数，那么a是实数”得出a是实数是a是有理数的必要条件；
如果a是有理数，那么a它肯定是实数，这说明a是有理数对于a是实数来讲是很充分的条件。所以据真命题“如果a是有理数，那么a是实数”得出a是有理数是a是实数的充分条件。
这说明，如果A的确是B的充分条件，那么绝对有B是A的必要条件，不绝对的是此时A还是B的必要条件；如果A的确是B的必要条件，那么绝对有B是A的充分条件，不绝对的是此时A还是B的充分条件。并不是要求B能推出A，如果B能推出A，那么B就是A的充分条件了啊，毕竟一件事情可以推知另一件事情的时候，代表前者对于后者来说是充分的，如果只是必要的是推不出来的啊。综合起来，B就是A的充要条件。
而如果这时，我们又能从a是实数推出a是有理数的话，a是有理数就是a是实数的充要条件，a是实数也是a是有理数的充要条件了，但事实并非如此，所以a是有理数是a是实数的充分不必要条件，a是实数是a是有理数的必要不充分条件。
老师用的区分充分和必要条件用的方法和书上写的区分充分和必要条件用的方法是2种方法。你的误解可能出现在混用了两种区别充分和必要条件的方法。
老师用的方法中的“如果A，那么B”不一定是真命题，那么这时，A推出B则说明A是B的充分条件，B能推出A则说明B是A的充分条件。在此时，“如果A，那么B”不一定成立，不成立的情况就比如“如果a是实数，那么a是有理数”，这里，a是有理数可以推出a是实数，即a是实数是可以由结论推出的条件，即B→A，a是实数是a是有理数的必要条件，即A是B的必要条件。同时因为a是有理数可以推知a是实数，说明a是有理数对于a是实数是充分的，即a是有理数是a是实数的充分条件。在这个方法中，能推出结论的A是B的充分条件，能被B推出的A是B的必要条件，但后者那种情况里不一定是真命题。
总之，能推出结论的条件是充分条件，能被结论推出的条件是必要条件，在这时，“如果条件，那么结论”这句话不一定是真命题，我们要讨论的，也就是条件是结论的什么条件而已。如果“如果条件，那么结论”是真命题，那么条件是结论的充分条件，也必然有结论是条件的必要条件；如果“如果条件，那么结论”是假命题，那么条件是结论的必要条件，结论是条件的充分条件（不考虑充要条件时）。
书上的方法中的“如果A，那么B”已经指定是真命题，那么这时，A已经是B的充分条件，此时B必然是A的必要条件。

Answer 2

你搞混了。。
课本上的定义是这样的：
如果p能推出q 那么p是q的充分条件 也可以说q是p的必要条件
（即“如果A，那么B。”A推出B，A被称为B的充分条件；B推出A，那么B称为A的必要条件）这句话是错的

应该是（即“如果A，那么B。”A推出B，A被称为B的充分条件 B称为A的必要条件）
如果B推出A 那么B就是A的充分条件 也可以说A是B的必要条件了

追问

对呀，书上的确是如果p能推出q 那么p是q的充分条件 也可以说q是p的必要条件，但是你没看懂。
即“如果A，那么B。”A推出B，A被称为B的充分条件；B推出A，那么B称为A的必要条件是老师说的就是因为和书上的不一样所以我才来问的，究竟哪个对，看你的说法好像是和书上的说法一样的，可是刚刚回答的却说书上是错的。

追答

B推出A，那么B称为A的充分条件

如果你们教师说的是B推出A，那么B称为A的必要条件 那么是你老师说错了

Answer 3

结论能推出条件，结论是条件的充分必然条件。严格讲，不是“条件”与“结论”，而是“前提”与“结论”之间的条件关系。
前提能推出结论，那么： 前提是结论的充分条件，结论是前提的必要条件。
如果同时结论能反推出前提，则 原前提与结论互为充要条件。
学弟学妹啊，把老师的结论别记反了啊！！

追问

我没记反，老师说的就是B能推出A，B就是A的必要条件，但我觉得老师的B能推出A，B就是A的必要条件是在他问你B是A的什么条件的情况下，而不是如果A，那么B的情况下。也就是说书上的前面后面是针对“如果A，那么B”的前面后面。。而老师的前面后面是针对它问的问题“B是A的什么条件”时的前面后面。

追答

B能推出A，那么B就是A的充分条件，A是B的必要条件。你只要记住这个原则：前件推出后件，前件是后件的充分条件，后件是前件的必要条件。不要记A和B，容易记混的。

Answer 4

你的书说的不对，A推出B但B推不出A，那么A是B的充分不必要条件。若A推不出B,B推出A，那么A是B必要不充分条件。若A推出B,B推出A，那么A是B充分必要条件。若A不推出B,B不推出A，那么A既不是B的充分也不是B必要条件。

追问

充分不必要条件的定义是A推出B但B推不出A，那么A是B的充分不必要条件，那么仅仅是充分条件的定义也要强调但B推不出A，还是只要定义为A推出B那么A是B的充分条件呢

Answer 5