数学初二题目方差与标准差，要有过程，好的加分

Question

已知三组数据甲:1,2,3,4,5;乙:101,102,103,104,105;丙:3,6,9,12,15;（1）分别求这三组数据的平均数,方差和标准差（2）比较甲、乙两组数据的计算结果，你能得到什么结论？（3）比较甲丙两组数据的计算结果，你能得到什么结论？（4）已知数据x1,x2,...xn的平均数是a，方差是b，标准差是c则：1.数据x1-3,x2-3,...xn-3的平均数是？方差是？标准差是？2.2x1,2x2,...,2xn的平均数？方差是？标准差是？3.数据1/2x1-2,1/2x2-2,...,1/2xn-2的平均数是？方差是？标准差是？4.用尽可能快的方法算出数据1648、1650、1652、1654、1656的方差。

Answer 1

1.平均数：
甲：1/5(1+2+3+4+5)=3
乙：1/5(101+102+103+104+105)=103
丙：1/5(3+6+9+12+15)=9
方差：
甲：1/5[(1-3)²+(2-3)²+(3-3)²+(4-3)²+(5-3)²]=2
乙：1/5[(101-103)²+(102-103)²+(103-103)²+(104-103)²+(105-103)²]=2
丙：1/5[(3-9)²+(6-9)²+(9-9)²+(12-9)²+(15-9)²]=18
标准差：方差的平方根
甲：根号2
乙：根号2
丙：3倍根号2
2.甲乙两组数据稳定性相同，乙组数据平均高于甲组。
3.甲丙两组数据中，甲组数据较稳定，乙组数据平均高于甲组。
4.(1)平均数
∵ x1,x2,...xn的平均数是a
∴ X1+X2+X3+X4+……+Xn=an
∴ X1-3+X2-3+X3-3+X4-3+……+Xn-3=an-3n=n(a-3)
∴ X1,X2,X3......Xn平均数为a-3
方差
∵x1,x2,...xn方差是b
∴[(X1-a)²+(X2-a)²+......+(Xn-a)²]/n=b
∴[(X1-3-a)²+(X2-3-a)²+……+(Xn-3-a)²]/n=b
（或许你会问为什么还是b。呵呵，是这样滴，方差是看数据的稳定性的，虽然这组数据X1，X2......Xn每个都减了3，但是总体的稳定性并没有被打破，对吧？其实你就看前一道题中的1,2,3,4,5和101,102,103,104,105这两组的方差是不是也一样啊？就相当于第二组数据每个都加了100啊，方差没有变化的。）
标准差
标准差是方差的平方根，既然方差都是b没有变，那么它的平方根仍然是c。
(2)平均数
∵ x1,x2,...xn的平均数是a
∴x1+x2+....+xn=na
∴2x1+2x2+2x3+....+2xn=2+(x1+x2+....+xn)=2na
∴平均数为2a
方差：
（其实这题就像第一道大题一样，相当于丙组数据3,6,9,12,15与甲组数据1,2,3,4,5对照一样的。丙组数据就是在甲组数据上乘以了3啊。之后方差就是乘以的数的平方，也就是3²，即9。）
标准差：
标准差为3。
(3)平均数
∵x1,x2,...xn的平均数是a
∴x1+x2+x3+....+xn=na
∴1/2x1-2+1/2x2-2+...+1/2xn-2=1/2(x1+x2+....+xn)-2n=1/2an-2n=(1/2a-2)n
∴平均数：1/2a-2
方差
∵x1,x2,...xn方差是b
∴[(X1-a)²+(X2-a)²+......+(Xn-a)²]/n=b
∴[(1/2x1-2-a)²+(1/2x2-2-a)²+....+(1/2xn-2-a)²]/n=1/4b
（是这样的，首先加减对其不起作用，这我已经在前面说过了，关键是乘除的处理，此题中乘以了1/2，因此最后方差就是乘以1/4）
标准差
标准差就是方差的平方根1/2c
(4)你可以将这组数字化成2+1646,4+1646,6+1646,8+1646,10+1646。
这样问题就简单多了，化成了2,4,6,8,10的变形了。
因此按照刚才已经找到的规律算出来就好了。
实际上求出来2,4,6,8,10的方差就可以了，因为加上的这个1646是不起作用的。
方差就是1/5[(2-6)²+(4-6)²+....+(10-6)²]=8

希望能帮助到你！