求一个积分问题。 f(x)在[0，+∞）单调减少，非负，连续，为什么∫ f(x)dx

Question

求一个积分问题。
f(x)在[0，+∞）单调减少，非负，连续，为什么∫ f(x)dx ≥ ∫ f(n+1)dx (其中上限都是n+1.下限是n，n为正整数）。∫ f(x) dx ≤ ∫ f(n-1)dx（其中上限是n，下限是n-1，n为正整数）。

Answer 1

根据积分中值定理，存在k和m，满足n<=k<=n+1，n-1<=m<=n，使得
∫(n,n+1) f(x)dx=(n+1-n)*f(k)=f(k)
∫(n-1,n) f(x)dx=(n-n+1)*f(m)=f(m)
因为f(x)在x>=0上单调递减，所以f(n+1)<=f(k)<=f(n)<=f(m)<=f(n-1)
所以∫(n,n+1) f(x)dx=f(k)>=f(n+1)=∫(n,n+1) f(n+1)dx
∫(n-1,n) f(x)dx=f(m)<=f(n-1)=∫(n-1,n) f(n-1)dx