在开根号的时候，什么时候开出来数是带绝对值的？

Question

什么时候不需要带绝对值开出来呢？为什么在做积分的时候有的带绝对值开出来，有的则不需要！能就您的经验给举几个例子吗？非常非常感谢！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

保险起见，

任何时候，在开根号时都带上绝对值。

然后，再看符号。

这样，不会出错。

要不然，就不要开出来。
比如，求(ab^-1c^3)的根号÷(a^2b^-2c^2)的3次方根

最安全的解法是，

a,b,c 都不等于0.
[ab^(-1)c^3] > 0.

原式 = [ab^(-1)c^3]^(1/2)/[a^2b^(-2)c^2]^(1/3)

= [ab^(-1)c^3]^(1/2)c^(4/3)/{[a^2b^(-2)c^2]^(1/3)*c^(4/3)}

= [ab^(-1)c^3]^(1/2)c^(4/3)/[a^2b^(-2)c^2*c^4]^(1/3)

= [ab^(-1)c^3]^(1/2)c^(4/3)/[a^2b^(-2)c^6]^(1/3)

= [ab^(-1)c^3]^(1/2)c^(4/3)/[ab^(-1)c^3]^(2/3)

= [ab^(-1)c^3]^[1/2 - 2/3]c^(4/3)

= [ab^(-1)c^3]^[-1/6]c^(4/3)

要是把根号打开，就要讨论a,b,c的符号，情况太多了。
这个时候，不打开根号，就没有危险了。

再比如，
求 (x^2 + 1)^(-1/2)的不定积分。

因为，
[ln|x + (x^2 + 1)^(1/2)|]' = [1 + x/(x^2 + 1)^(1/2)]/[x + (x^2 + 1)^(1/2)]

= (x^2 + 1)^(-1/2)

所以，
答案是 ln|x + (x^2 + 1)^(1/2)| + C.
【可是，这个绝对值是多余的。因为绝对值符号内的函数一定大于0.但加上绝对值，没人会说你错了。】

但是，
[-ln|x - (x^2 + 1)^(1/2)|]' = -[1 - x/(x^2 + 1)^(1/2)]/[x - (x^2 + 1)^(1/2)]

= (x^2 + 1)^(-1/2)

所以，
答案也可以是 -ln|x - (x^2 + 1)^(1/2)| + C.
【哈，这个时候，去掉绝对值符号，就完全错了。】

所以，
俺的经验是，要么不要开根号。
如果一定要开，【不开心里不爽，哈哈~~】
那就一定要加上绝对值符号。
【省心啊，绝对不会出错了。】
要不咋叫【绝对】值呐。 嘿嘿。。

Answer 2

当开完根号以后，值域变了的时候，需要加绝对值。也就是说，你开方后的函数的值域应该和开方前的函数的值域保持一致。例如：
（x^2)^1/2 = |x| ，因为x的定义域是R，而开方不可能是负的。

Answer 3

当根号下的式子小于零时需要带绝对值号。