难度100证明题

Question

设a、b、c为三个不同的整数，f(x)为整系数的多项式，求证：不可能同时存在f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a

Answer 1

解：
如果存在f(x),满足f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a
设 f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+……an*x^n ,其中（a0,a1,a2……an为整数）
不妨设a>b>c
则 f(a)-f(b)=(a0+a1*a+a2*a^2+……an*a^n)-(a0+a1*b+a2*b^2+……an*b^n)
=a1*(a-b)+a2*(a^2-b^2)+……+an*(a^n-b^n)
=(a-b)*(a1+a2*(a+b)+……an(a^(n-1)+a^(n-2)*b+……b^(n-1)))
因为（a1....an均为整数）
所以 f(a)-f(b)能被（a-b）整除
所以 b-c 能被（a-b）整除 所以 a-b<=b-c
同理 a-c 能被（b-c）整除 所以 b-c<=a-c
同理 a-b 能被（a-c）整除 所以 a-c<=a-b
所以只有 在a-b=b-c=a-c 时才成立
即a=b=c
与题意不符，所以
不可能同时存在f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a