求高等数学一道题解，不定积分

Question

∫[1/(x1/2+x1/6)]×dx求不定积分，中文意思：1除以x的二分之一加上x的六分之一乘以dx，求解
应该是x的二分之一次方和x的六分之一次方

Answer 1

设x^(1/6)=t,即x=t^6,x^(1/2)=t^3,那么dx=dt^3,把这些式子代入原式，原式＝(2t^3-6t+6arctant)+c,再把t=x^(1/6)代回就可以了。

Answer 2

令t=x^(1/6),得dx=6t^5dt
原式=6∫[(t^4)/(t^2+1)]dt
=6∫[(t^4-1)/(t^2+1)]dt+6∫[1/(t^2+1)]dt
=6∫(t^2-1)dt+6arctant
=6∫t^2dt-6∫dt+6arctant
=(-6/t)-6t+6arctant+C
将t=x^(1/6)代入上式即可。

Answer 3

另x1/2等于t，原不定积分变为∫[1/(1+t^2)]dt=arctant+c;之后再把t换为x的二分之一次方即可。

Answer 4

原式=∫[1/(2x/3)]dx
=2/3∫(1/x）dx
=(2/3)lnx+C

参考资料：自己的大脑